Progresie geometrică. EXEMPLUL deciziei

Luați în considerare un rând.

7 28 112 448 1792 ...

arată destul de clar că valoarea oricăruia dintre elementele sale mai mult decât exact de patru ori anterioare. Deci, această serie este o progresie.

progresie geometrică numita secventa infinita de numere, caracteristica principală este faptul că numărul următor se obține din cele de mai sus prin înmulțirea cu un numar bine definit. Acest lucru este exprimat prin formula următoare.

_{z +1 = z · q} , unde z - numărul elementului selectat.

Prin urmare, z ∈ N.

Un moment în care școala este studiat progresie geometrică - clasa a 9-a. Exemplele vor ajuta să înțeleagă conceptul:

0,25 0,125 0,0625 ...

18 06 februarie ...

Pe baza acestei formule, progresia numitor poate fi găsit după cum urmează:

Nici q, sau b _z nu poate fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele unei serii de numere progresie nu ar trebui să fie zero.

Prin urmare, pentru a vedea următorul număr de număr, se înmulțește acesta din urmă cu q.

Pentru a defini acest progres, trebuie să specificați primul element al acesteia și numitorul. După aceea este posibil să se găsească oricare dintre următorii membri și valoarea acestora.

specie

În funcție de q și _1, această progresie este împărțit în mai multe tipuri:

• Dacă un ₁ și q este mai mare decât una, apoi o secvență - în creștere cu fiecare element succesiv al unei progresie geometrică. Exemple ale acestora sunt detaliate mai jos.

Exemplu: ₁ = 3, q = 2 - mai mare decât unitatea, ambii parametri.

Apoi, o secvență de numere poate fi scris ca:

3 6 12 24 48 ...

• Dacă | q | mai mult decât unul, adică, este echivalentă cu înmulțirea prin divizare, progresia cu condiții similare - scăderea progresie geometrică. Exemple ale acestora sunt detaliate mai jos.

Exemplu: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ este mai mare decât unu, q - mai puțin.

Apoi, o secvență de numere pot fi scrise după cum urmează:

02 iunie 2/3 ... - orice element de mai multe elemente următoarele acesta, este de 3 ori.

• Alternare. Dacă q <0, semnele numerelor alternarea secvenței constant indiferent de _1, iar elementele de orice creștere sau scădere.

Exemplu: ₁ = -3, q = -2 - sunt ambele mai mici decât zero.

Apoi, o secvență de numere poate fi scris ca:

3, 6, -12, 24, ...

formulă

Pentru utilizare convenabilă, există multe progresii geometrice cu formulele:

• Formula z-lea termen. Acesta permite calcularea elementului într-un anumit număr, fără a calcula numerele anterioare.

Exemplu: q = 3, a = ₁ 4. este necesar să se calculeze un al patrulea element de progresie.

Soluție: a = 4 × _{^{4 3 4 4-1 = 3 = 3}} · 4 · 27 = 108.

• Suma primelor elemente, al căror număr este egal cu z. Acesta permite calcularea sumei tuturor elementelor dintr - o secvență de la _z inclusiv.

≠ 0, deci, q nu este 1 - (q 1) Deoarece (1- q) este la numitor, atunci.

Notă: dacă q = 1, atunci progresia ar fi reprezentat un număr de a repeta la nesfârșit numărul.

Suma exponențial exemple: ₁ = 2, q = -2. Se calculează S _5.

Soluție: S ₅ = 22 - formula de calcul.

• Suma dacă | q | <1 și când z tinde la infinit.

Exemplu: ₁ = _2, q = 0,5. Găsiți suma.

Soluție: S _z = 2 x = 4

Dacă vom calcula suma mai multor membri ai manualului, veți vedea că acesta este într - adevăr , sa angajat la patru.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3.9375 4

Unele proprietăți:

• O proprietate caracteristică. În cazul în care următoarea condiție Acesta este valabil pentru orice z, apoi a dat o serie numerică - o progresie geometrică:

_z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• De asemenea , este pătratul orice număr este exponențial prin adăugarea pătratelor celorlalte două numere în orice rând dat, în cazul în care acestea sunt echidistant față de elementul.

² _z = _{z - t} ² _{+ z} + _t ² unde t - distanța dintre aceste numere.

• Elementele difera de ori q.
• Logaritmii elementelor de progresie cat formează o progresie, dar aritmetica, adică, fiecare dintre ele mai mult decât cea anterioară printr - un anumit număr.

Exemple de unele probleme clasice

Pentru a înțelege mai bine ce o progresie geometrică, cu exemple de decizie pentru clasa a 9 poate ajuta.

• Termeni și condiții: ₁ = 3, ₃ = 48. Găsiți q.

Soluție: fiecare element succesiv în mai mult decât q precedent timp. Este necesar să se exprime anumite elemente prin intermediul altor prin numitor.

În consecință, un ₃ = q ² · ₁

Când substituirea q = 4

• Condiții: a ₂ = 6, a = ₃ 12. Calculați S _6.

Soluție: Pentru a face acest lucru, este suficient pentru a găsi q, primul element și substitut în formulă.

₃ = q · un _2, în consecință, q = 2

un ₂ = q · A _1, așa a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Găsiți patrulea element de progresie.

Soluție: este suficient pentru a exprima al patrulea element prin primul și prin numitorul.

₄ ³ = q · a = ₁ -80

Exemplu de utilizare:

• Clientul Banca a contribuit suma de 10.000 de ruble, în care în fiecare an, clientul la suma de bază va fi adăugat 6% din acesta este. Cât de mult bani este într-un cont după 4 ani?

Soluție: Suma inițială egală cu 10 de mii de ruble. Deci, un an după investițiile în contul va fi suma egală cu 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

În consecință, suma în contul chiar și după un an va fi exprimată după cum urmează:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Aceasta este, în fiecare an, suma a crescut la 1,06 ori. Prin urmare, pentru a găsi numărul contului, după 4 ani, este suficient pentru a găsi o a patra progresie a elementului, care este dat prim element egal cu 10 mii, iar numitorul egal cu 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Exemple de probleme în calculul sumei de:

In diverse probleme folosind progresie geometrică. Un exemplu de găsirea sumei poate fi stabilită după cum urmează:

₁ = 4, q = 2, se calculează S _5.

Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, pur și simplu să le înlocuiască în formulă.

S ₅ = 124

• un ₂ = 6, a = ₃ 18. Se calculează suma primelor șase elemente.

soluţie:

Geom. progresul fiecărui element al următorului mai mare decât timpii q anterioare, adică, pentru a calcula suma pe care trebuie să știți elementul ₁ și q numitor.

un ₂ · q = ₃

q = 3

În mod similar, necesitatea de a găsi un _{1, 2} și un q cunoscător.

₁ · q = _a2

o ₁ = 2

Și apoi este suficient pentru a înlocui datele cunoscute în cantitatea formulă.

S ₆ = 728.