Sisteme de ecuații algebrice liniare. Sisteme omogene de ecuații algebrice liniare

Înapoi la școală, fiecare dintre noi a studiat ecuațiile și, probabil, un sistem de ecuații. Dar nu mulți oameni știu că există mai multe modalități de a le rezolva. Astăzi vom discuta în detaliu toate metodele de rezolvare a unui sistem de ecuații algebrice liniare care constau în mai mult de două egalități.

poveste

Până în prezent, se știe că arta de a rezolva ecuațiile și sistemele lor a provenit din vechiul Babilon și din Egipt. Cu toate acestea, egalitatea în forma obișnuită pentru noi a apărut după apariția semnului egalității "=", introdus în 1556 de către matematicianul englez Record. Apropo, acest semn a fost ales dintr-un motiv: înseamnă două segmente paralele egale. Și este adevărat că cel mai bun exemplu de egalitate nu poate fi imaginat.

Fondatorul unor denumiri alfabetice moderne de necunoscute și semne de grade este matematicianul francez Francois Viet. Cu toate acestea, desemnările sale au fost semnificativ diferite de cele de astăzi. De exemplu, pătratul unui număr necunoscut a fost notat cu litera Q (latină "quadratus"), iar cubul cu litera C (latină "cubus"). Aceste denumiri par acum incomode, dar atunci a fost cel mai ușor de înțeles mod de a scrie sisteme de ecuații algebrice liniare.

Cu toate acestea, dezavantajul în metodele de rezolvare de atunci a fost acela că matematicienii au considerat doar rădăcinile pozitive. Poate că acest lucru se datorează faptului că valorile negative nu au avut aplicații practice. Oricum, matematicienii italieni Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano și Rafael Bombelli în secolul al XVI-lea au fost primii care au luat în considerare rădăcinile negative. O formă modernă, principala metodă pentru rezolvarea ecuațiilor patratice (prin discriminare) a fost creată abia în secolul al XVII-lea datorită lucrărilor lui Descartes și Newton.

La mijlocul secolului al XVIII-lea, matematicianul elvețian Gabriel Kramer a găsit un nou mod de a facilita rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Această metodă a fost ulterior numită după el și până astăzi o folosim. Dar vom vorbi mai târziu despre metoda lui Cramer, dar pentru moment vom discuta despre ecuații și metode lineare pentru a le rezolva separat de sistem.

Ecuații liniare

Ecuațiile liniare sunt cele mai simple ecuații cu o variabilă (e). Ele sunt clasificate ca algebrice. Ecuațiile liniare sunt scrise în forma generală după cum urmează: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. Reprezentarea acestora în această formă este necesară pentru elaborarea în continuare a sistemelor și a matricelor.

Sisteme de ecuații algebrice liniare

Definiția acestui termen este: este o colecție de ecuații care au cantități comune necunoscute și o soluție comună. De regulă, în școală, totul a fost rezolvat de sisteme cu două sau chiar trei ecuații. Dar există sisteme cu patru sau mai multe componente. Să ne uităm la prima, cum să le scriem, pentru ca în viitor să fie convenabil să rezolve. În primul rând, sistemele de ecuații algebrice liniare vor arăta mai bine dacă toate variabilele sunt scrise ca x cu indicele corespunzător: 1,2,3 și așa mai departe. În al doilea rând, este necesar să se aducă toate ecuațiile în forma canonică: a ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

După toate aceste acțiuni, putem începe să spunem cum să găsim o soluție la sistemele de ecuații liniare. Foarte mult pentru asta avem nevoie de matrice.

matrice

O matrice este o tabelă care constă din rânduri și coloane, iar la intersecția lor sunt elementele ei. Acestea pot fi valori sau variabile specifice. De cele mai multe ori, pentru a desemna elementele, ele sunt plasate sub indiciile (de exemplu, ₁₁ sau ₂₃ ). Primul indice este numărul rândului, iar al doilea este coloana. Peste matrice, precum și peste orice alt element matematic, puteți efectua diverse operații. Astfel, puteți:

1) Extrageți și adăugați tabele de aceeași mărime.

2) Înmulțiți matricea cu un număr sau cu un vector.

3) Transpuneți: convertiți rândurile matricei în coloane și coloanele - în linii.

4) Înmulțiți matricile dacă numărul de rânduri ale uneia dintre ele este egal cu numărul de coloane ale celeilalte.

Vom discuta toate aceste tehnici în detaliu, deoarece ele vor fi utile pentru noi în viitor. Extragerea și adăugarea matricelor este foarte simplă. Deoarece luăm matrici de aceeași mărime, fiecare element al unei mese corespunde fiecărui element al celeilalte. Așadar, adăugăm (scădea) aceste două elemente (este important să stea în aceleași locuri în matricea lor). Când înmulțiți o matrice cu un număr sau cu un vector, înmulțiți fiecare element al matricei cu acest număr (sau vector). Transpunerea este un proces foarte interesant. Este foarte interesant, uneori, să-l vezi în viața reală, de exemplu, când schimbi orientarea unui tabletă sau a unui telefon. Pictogramele de pe desktop sunt o matrice, iar atunci când poziția se schimbă, este transpusă și devine mai largă, dar scade înălțime.

Să analizăm încă un astfel de proces, ca multiplicarea matricelor. Deși nu vine la îndemână, va fi util să-l cunoașteți. Multiplicați două matrice numai dacă numărul de coloane dintr-un tabel este egal cu numărul de rânduri al celeilalte. Acum luăm elementele liniei unei matrice și elementele coloanei corespunzătoare a celuilalt. Noi le multiplicăm unul câte unul și apoi le adăugăm (adică produsul elementelor ₁₁ și ₁₂ cu b ₁₂ și b ₂₂ este: a ₁₁ * b ₁₂ + a ₁₂ * b ₂₂ ). Astfel, se obține un element al mesei și se completează aceeași metodă.

Acum putem începe să analizăm modul în care se rezolvă sistemul de ecuații liniare.

Metoda Gauss

Acest subiect începe să aibă loc la școală. Știm bine conceptul de "sistem de două ecuații liniare" și le putem rezolva. Dar dacă numărul de ecuații este mai mare de două? Metoda Gauss ne va ajuta în acest sens .

Desigur, este convenabil să folosim această metodă dacă facem o matrice din sistem. Dar nu o poți transforma și rezolva în forma sa pură.

Deci, cum rezolvă această metodă sistemul de ecuații liniare Gauss? Apropo, deși această metodă este numită după el, dar a fost descoperită în cele mai vechi timpuri. Gauss sugerează următoarele: să efectueze operații cu ecuații, pentru a conduce în cele din urmă întregul agregat la o formă asemănătoare pasului. Adică, este necesar ca din partea de sus în jos (dacă este aranjată corespunzător) de la prima ecuație la cea de-a treia să scadă cu una necunoscută. Cu alte cuvinte, trebuie să facem așa încât să obținem, să zicem, trei ecuații: în primul - trei necunoscute, în al doilea - două, în al treilea - unul. Apoi, din ultima ecuație găsim primul necunoscut, înlocuim valoarea lui în a doua sau prima ecuație și apoi găsim celelalte două variabile.

Metoda lui Cramer

Pentru a stăpâni această metodă, este extrem de important să posedăm abilitățile adunării, scăderii matricelor și, de asemenea, să găsim factori determinanți. Prin urmare, dacă o faceți rău sau nu știți cum, va trebui să învățați și să practicați.

Care este esența acestei metode și cum se face astfel încât să se obțină sistemul de ecuații Cramer liniare? Este foarte simplu. Trebuie să construim o matrice de coeficienți numerici (aproape întotdeauna) ai unui sistem de ecuații algebrice liniare. Pentru a face acest lucru, luați numerele în fața celor necunoscute și plasați-le în masă în ordinea în care sunt scrise în sistem. Dacă există un semn "-" în fața numărului, scrieți un coeficient negativ. Așadar, am compilat prima matrice a coeficienților pentru necunoscute, fără a include numerele după semnele egale (este normal ca ecuația să fie redusă la forma canonică, atunci când partea dreaptă conține numai numărul, iar la stânga toate necunoscutele cu coeficienți). Apoi trebuie să creăm mai multe matrici, câte una pentru fiecare variabilă. Pentru a face acest lucru, înlocuiți prima matrice pe rând, fiecare coloană cu coeficienții unei coloane de cifre după semnul egal. Astfel obținem mai multe matrici și apoi găsim determinanții lor.

După ce am găsit determinanții, este un lucru mic. Avem o matrice inițială și există mai multe matrici obținute care corespund diferitelor variabile. Pentru a obține soluțiile de sistem, divizăm determinantul tabelului obținut în determinantul tabelului inițial. Numărul rezultat este valoarea uneia dintre variabile. În mod similar, găsim toate necunoscutele.

Alte metode

Există mai multe metode pentru obținerea unei soluții de sisteme de ecuații liniare. De exemplu, așa-numita metodă Gauss-Jordan, care este utilizată pentru a găsi soluții la un sistem de ecuații patratice, este de asemenea legată de utilizarea matricelor. Există, de asemenea, metoda Jacobi pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare. Este cel mai adaptabil pentru un computer și este folosit în tehnologia informatică.

Cazuri complexe

Complexitatea apare de obicei dacă numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Apoi putem spune cu certitudine că fie sistemul este inconsistent (adică nu are rădăcini), fie numărul soluțiilor sale tinde spre infinit. Dacă avem al doilea caz, atunci trebuie să notăm soluția generală a sistemului de ecuații liniare. Acesta va conține cel puțin o variabilă.

concluzie

Așa că am ajuns până la capăt. Să rezumăm: am analizat ce sistem și matrice sunt și am învățat cum să găsim soluția generală a unui sistem de ecuații liniare. În plus, am considerat alte opțiuni. Am aflat cum se rezolvă sistemul de ecuații liniare: metoda Gauss și metoda Cramer. Am vorbit despre cazuri complicate și alte modalități de găsire a soluțiilor.

De fapt, acest subiect este mult mai amplu, iar dacă doriți să îl înțelegeți mai bine, vă recomandăm să citiți o literatură mai specializată.