Numerele derivate: metode de calcul și exemple

Poate conceptul de derivat este familiar pentru noi toți din liceu. De obicei, elevii au dificultăți în a înțelege acest lucru este, fără îndoială, un lucru foarte important. Acesta este utilizat în mod activ în diverse domenii ale vieții oamenilor, și multe inginerie s-au bazat tocmai pe calcule matematice obținute de instrumentul derivat. Dar, înainte de a trece la o analiză a ceea ce este un derivat de numere în care acestea se calculează și în cazul în care acestea vor veni la îndemână, îngropa un pic în istorie.

poveste

Conceptul de derivat, care este baza analizei matematice, a fost deschis (chiar mai bine să spun „inventat“, pentru că este, ca atare, nu există în natură) Isaakom Nyutonom, care știm cu toții de la descoperirea legii gravitației. El a fost cel care a folosit pentru prima dată acest concept în fizica pentru caracterul obligatoriu al vitezei și accelerației corpurilor. Și mulți oameni de știință încă laudă Newton pentru această invenție magnifică, pentru că, de fapt, el a inventat baza de calcul diferențial și integral, baza factuală a întregului domeniu al matematicii numita „analiză matematică“. Indiferent dacă în momentul în care Premiul Nobel, Newton probabil ar fi primit-o de câteva ori.

Nu fără alte minți luminate. În plus față de Newton privind dezvoltarea unor astfel prelucrate genii eminente derivate și integrale ale matematicii ca Leonhard Euler, Lagrange și Louis Gotfrid Leybnits. Este mulțumită să le avem teoria calculului diferențial în forma în care există în ziua de azi. De altfel, aceasta este Leibniz a descoperit sensul geometric al derivatului, care nu era altceva decât panta tangentei la graficul funcției.

Ce este un derivat de numere? repeta Bit ce a avut loc în școală.

Ce este un derivat?

Definiți acest concept în mai multe moduri diferite. Cea mai simplă explicație: derivate - este rata funcției de schimbare. Reprezintă graficul oricărei funcții y a x. În cazul în care nu este drept, are unele curbe în grafic, perioadele de creștere și descreștere. Dacă luați orice interval infinitezimal a programului, acesta va fi un segment de linie dreaptă. Deci, raportul dintre dimensiunea unui segment infinitezimal al y la dimensiunea x coordonate, și va fi un derivat al funcției, la un anumit punct. Dacă luăm în considerare funcția ca un întreg, mai degrabă decât la un anumit moment, obținem o funcție a derivatului, adică o anumită dependență față de X y.

În plus, în afară de sensul fizic al derivatului ca funcție de viteza de schimbare, există, de asemenea, un sens geometric. Pe ea, vom discuta acum.

Semnificația geometrică

Derivatele Numerele sunt ele însele un anumit număr care nu este o înțelegere corectă nu are nici o semnificație. Se dovedește că derivatul este arată nu numai rata de creștere sau micșorare a funcției, iar panta tangentei la graficul funcției în acel punct. definiție nu este foarte clar. Să-l examinăm în detaliu. Să presupunem că avem un grafic al unei funcții (pentru a lua curba de interes). Acesta are un număr infinit de puncte, dar există zone în care doar un singur punct are o valoare maximă sau minimă. Prin orice astfel de punct, puteți trage o linie dreaptă, care ar fi perpendicular pe graficul funcției de la acel punct. Această linie va fi numită o tangentă. Să presupunem că l-am ținut până la intersecția cu axa OX. Astfel obținut între tangenta și OX axa și unghiul va fi determinat de derivatul. Mai precis, tangenta acest unghi va fi egală cu ea.

Hai să vorbim un pic despre cazurile particulare și derivații Să examinăm numerele.

cazuri speciale

Așa cum am menționat deja, derivați de numere - o valoare derivat de la un anumit punct. Aici, de exemplu, ia functia y = x ^2. Derivata x - numere, dar, în general - o funcție egală cu 2 * x. Dacă trebuie să se calculeze derivata, de exemplu, la punctul x ₀ = 1, obținem y „(1) = 2 * 1 = 2. Este foarte simplu. Un caz interesant este derivata numărului complex. Pentru a intra într-o explicație detaliată a ceea ce un număr complex, nu vom. Este suficient să spunem că acest număr, care conține unitatea imaginară așa-numita - numărul a cărui pătrat este egal cu -1. Calcularea acestui derivat este posibilă numai în următoarele condiții:

1) Trebuie să fie primii derivați de ordine parțiale ale părților reale și imaginare ale y și X.

2) condițiile Cauchy-Riemann asociate cu egalitatea parțială descrise în primul paragraf.

Un alt caz interesant, deși nu la fel de complicat ca cel anterior, este un derivat al unui număr negativ. De fapt, orice numere negative pot fi reprezentate ca un rezultat pozitiv, înmulțit cu -1. Ei bine, derivatul și funcția constantă egală cu o constantă înmulțită cu derivata funcției.

Va fi interesant de a afla mai multe despre rolul instrumentelor derivate în viața lor de zi cu zi, iar acest lucru este acum și discuta.

cerere

Probabil fiecare dintre noi cel puțin o dată într-o viață mă prinde gândesc că este puțin probabil să fie util să-l matematică. Și un astfel de lucru complicat ca derivat are, probabil, nici un folos. De fapt, matematica - știința fundamentală, și toate fructele sale se dezvoltă în principal, fizica, chimie, astronomie și chiar economia. Derivata a marcat începutul analizei matematice, care ne -a dat posibilitatea de a trage concluzii din graficele funcțiilor, și am învățat să interpreteze legile naturii și le transformă în avantajul lor , din cauza asta.

concluzie

Desigur, nu toată lumea poate fi utilă la derivatul în viața reală. Dar matematica se dezvoltă logica, care va avea nevoie cu siguranță. Nu pentru nimic, pentru că matematica este numită regina științelor: ea constă dintr-o înțelegere de bază a altor domenii ale cunoașterii.