Calculul diferențial al funcțiilor de una și mai multe variabile

Calculul diferențial este o ramură de analiză matematică, care examinează derivatul, diferențialele și utilizarea lor în studiul funcțiilor.

Povestea

Calculul diferentiala a apărut ca o disciplină independentă în a doua jumătate a secolului al 17-lea, datorită muncii lui Newton și Leibniz, care a formulat prevederile de bază în calcularea diferențelor și a observat legătura între integrare și diferențiere. Din moment ce el a dezvoltat disciplina, impreuna cu calculul integralelor, constituind astfel baza analizei matematice. Apariția acestor calculilor a deschis o nouă perioadă modernă în lumea matematică și a provocat apariția unor noi discipline științifice. De asemenea, a extins posibilitatea aplicării matematicii în științele naturale și inginerie.

concepte de bază

Calculul diferential se bazează pe conceptele fundamentale ale matematicii. Acestea sunt: un număr real, continuitatea și limita funcției. După un timp, ei au luat un aspect modern, datorită calculului diferențial și integral.

Procesul de creare

Formarea calculului diferențial sub forma unei cereri, apoi metoda științifică a avut loc înainte de apariția teoriei filosofice, care a fost creat de Nikolay Kuzansky. Munca lui este considerată a fi o dezvoltare evolutivă din vechea știință a judecății. În ciuda faptului că filosoful însuși nu a fost un matematician, contribuția sa la dezvoltarea științei matematice este de necontestat. Cusanus, una dintre primele out din contravaloare aritmetică ca știința cele mai exacte, matematica punerea timpul în discuție.

În matematicieni vechi criteriu universal a fost o unitate, în timp ce filosoful a propus ca o nouă măsură infinit returnează numărul exact. În legătură cu această reprezentare inversată a preciziei în domeniul științei matematice. Cunoașterea științifică, în opinia sa, este împărțit în rațional și inteligent. Al doilea este mai precis, în funcție de om de știință, deoarece primul dă rezultate doar aproximative.

idee

Ideea de bază și conceptul de calcul diferential asociat cu funcția într-un cartier mic de anumite puncte. Pentru aceasta este necesar să se creeze un aparat matematic pentru a funcționa studii al căror comportament într-un mic cartier de puncte instalate aproape de comportamentul unei funcții liniare sau un polinom. Pe baza acestei definiții a derivat și diferențial.

Apariția conceptului de derivat a fost cauzată de un număr mare de probleme de științe naturale și matematică, care au condus la determinarea valorilor limită de același tip.

Una dintre sarcinile principale care sunt date ca exemplu, începând cu cele mai vechi clase de școală, este de a determina viteza de deplasare a unui punct într-o linie dreaptă și construcția liniei tangente la această curbă. Diferentialul legat de acest lucru, deoarece este posibil să aproximeze funcția într-un mic cartier al punctului unei funcții liniare.

Comparativ cu conceptul de derivat al unei funcții de o variabilă reală, definiția diferențialele pur și simplu trece pe funcția de natură generală, în special imaginea unui spațiu euclidian la altul.

derivat

Să se deplasează punct în direcția de axa y, pentru moment vom lua x, care este măsurată de la începutul unui moment. Descrie o astfel de mișcare este posibilă prin funcția y = f (x), care este asociat fiecărui punct x timp de coordonate punctul deplasabilă. Această funcție de apel în mecanica pentru a lua legea de mișcare. Caracteristica principală a mișcării, în special inegale, este viteza instantanee. Atunci când punctul este deplasat de-a lungul axei y conform legii mecanicii, punctul de timp aleator capătă coordonate x f (x). In momentul de timp x + bH, unde bH reprezintă incrementul de timp, se va kordinaty f (x + bH). formula astfel format Dy = f (x + bH) - f (x), care se numește o funcție increment. Este un punct al traseului traversat timpul de la x la x + bH.

În legătură cu apariția vitezei la derivatul de timp este administrat. Derivatul oricărei funcții într-un punct fix numit limita (presupunând că există). Se poate face referire la anumite caractere:

f '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Procesul de calculare a derivatului de diferențiere apel.

Calculul diferențial al funcțiilor de mai multe variabile

Această metodă se aplică atunci când se calculează studiul funcției, mai multe variabile. Când există două variabile x și y, derivata parțială în raport cu x la punctul A se numește derivata acestei funcții în x cu y fix.

Pot fi indicate prin următoarele simboluri:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x și ∂f (x, y) „/ ∂x.

competențelor necesare

Pentru a învăța cu succes și să fie capabil să rezolve diffury abilitățile necesare în integrarea și diferențierea. Pentru a face mai ușor de înțeles ecuațiile diferențiale, trebuie să fie înțeles derivat subiect și nedefinită integrală. De asemenea, nu strică să învețe să caute derivata funcției implicite. Acest lucru se datorează faptului că, în procesul de învățare se va folosi de multe ori integralele și diferențierea.

Tipuri de ecuații diferențiale

Practic , toate lucrările de control asociat cu ecuațiile diferențiale de ordinul unu, există 3 tipuri de ecuații: omogene, cu variabile separabile, neomogene liniare.

Există, de asemenea, specii mai rare ecuații cu totalul diferentiale, ecuatia lui Bernoulli, și altele.

soluţii Fundamentele

Pentru început, trebuie să ne amintim este ecuația algebrică a unui curs școlar. Acestea conțin variabilele și numerele. Pentru a rezolva ecuația convențională ar trebui să găsească o mulțime de numere care satisfac o condiție specificată. De obicei, aceste ecuații au o rădăcină, iar pentru validarea ar trebui să înlocuiască numai această valoare în loc necunoscut.

Ecuația diferențială este similară cu aceasta. In general, o ecuație de ordinul întâi cuprinde:

• variabilă independentă.
• Un derivat al primei funcții.
• Funcția sau variabilă dependentă.

În unele cazuri, poate exista nici un necunoscut, x sau y, dar nu este la fel de important, deoarece este necesar să aibă primul derivat, fără derivați de ordin superior la soluție și calculul diferențial au fost adevărate.

Rezolva ecuația diferențială - înseamnă a găsi mulțimea tuturor funcțiilor care sunt expresia dată adecvată. Aceste seturi de funcții se numește adesea controlului general soluție.

calcul integral

calcul integral este una dintre secțiunile de analiză matematică, care examinează conceptul, proprietățile și metodele de calcul sale integrale.

Adesea calculul integralei are loc atunci când se calculează suprafața unei forme curbilinii. Prin aceasta înseamnă o zonă limită, față de care o suprafață predeterminată a formei poligon înscris cu o creștere treptată în mână, iar partea de date poate fi mai mică decât orice specificat anterior arbitrar o valoare mică.

Ideea de bază în calcularea suprafeței de orice formă geometrică se calculează aria unui dreptunghi, atunci există dovezi că suprafața sa este egală cu produsul dintre lungimea de lățimea. Când este vorba de geometrie, atunci toate construcțiile sunt realizate folosind o riglă și busolă, iar apoi raportul dintre lungime și lățime este o valoare rațională. La calcularea ariei unui triunghi dreptunghic se poate stabili că, dacă ai pus un triunghi următor, este format dintr-un dreptunghi. În zona paralelogramului sunt calculate într-o metodă similară, dar puțin mai complicat, într-un dreptunghi și un triunghi. În zona unui poligon este considerat de triunghiuri incluse în ea.

Pentru a determina mila de arbitrare, această metodă nu se potrivește curba. Dacă vom rupe în pătrate individuale, va rămâne locuri neocupate. În acest caz, încercați să utilizați două straturi, cu dreptunghiuri de mai sus și mai jos, ca urmare a celor includ graficul funcției și nu include. Important aici este o modalitate de a sparge aceste dreptunghiuri. De asemenea, dacă luăm pauză mai mult și mai redus, zona de sus și de jos ar trebui să conveargă la o anumită valoare.

Ar trebui să revină la o metodă de separare în dreptunghiuri. Există două metode populare.

Riemann a fost formalizată definiția integralei, creat de Leibniz și Newton, ca zona subgrafic. În acest caz, am considerat o cifră constând dintr-un anumit număr de dreptunghiuri verticale obținute prin împărțirea intervalului. Când rupere o scădere există o limită căreia suprafața redusă a unei astfel de figură, această limită se numește integrala Riemann a unei funcții la un interval specificat.

O a doua metodă este de a construi Lebesgue integral, care constă în faptul că, în loc de separare zonă desemnată pe o parte a integrantul și compilarea atunci suma integrală a valorilor obținute în aceste părți, la intervale de timp împărțit gama de valori și apoi însumate cu măsurile corespunzătoare imagini inverse ale acestor integralele.

SIDA moderne

Unul dintre principalele beneficii pentru studiul de calcul diferențial și integral Fikhtengol'ts a scris - „din calcul diferențial și integral.“ manualul său este un instrument fundamental pentru studiul analizei matematice, care a rezistat multe ediții și traduceri în alte limbi. Creat pentru elevi și pentru o lungă perioadă de timp folosit într-o varietate de instituții de învățământ ca fiind unul dintre principalele avantaje ale studiului. Acesta oferă informații teoretice și abilități practice. Mai întâi publicată în 1948.

Funcția de cercetare Algoritmul

Pentru a explora metodele de calcul diferențial funcției, trebuie să urmați este deja dat algoritm:

1. Găsiți domeniul funcției.
2. Găsiți rădăcinile ecuației date.
3. Calculați extreme. Pentru a face acest lucru, vom calcula derivata și punctul în care este egal cu zero.
4. Înlocuim valoarea obținută în Eq.

Soiurile de ecuații diferențiale

Controlul primei comenzi (altfel, diferential calculul unei variabile) și tipurile lor:

• Cu variabile separabile ecuație: f (y) dy = g (x) dx.
• Cea mai simplă ecuație diferențială sau funcția de calcul a unei variabile, având formula: y „= f (x).
• Liniară de ordinul întâi controlul neuniforma: y „+ P (x) y = Q (x).
• ecuație diferențială Bernoulli: y „+ P (x) y = Q (x) y a.
• Ecuația diferentiale totale cu: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Ecuațiile diferențiale ale doilea ordin și tipurile lor:

• Ecuația diferențială Omogen liniar doua ordine cu ^{coeficienți constanți: y n + py „+ QY} = 0 p, q aparține R.
• Ecuația liniară neomogenă a doua diferentiale cu ^valoare coeficienți ^{constanți: y n + py „+ QY} = f (x).
• Omogen ^ecuație diferențială ^{liniară: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, și a doua ^ecuație neomogenă ^{ordine: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

ecuații diferențiale de ordin superior și tipurile lor:

• Ecuația diferențială, permițând reducerea ^{ordinului: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• O ecuație liniară de ordin superior ^{_{omogene: y (n) + f (}} n ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y „+ f ₀ y = 0, și ^{_{neomogenă: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y „+ f ₀ y = f (x).

Etapele de rezolvare a problemei cu ecuația diferențială

Cu ajutorul telecomenzii sunt rezolvate nu numai matematică sau probleme fizice, dar, de asemenea, diversele probleme ale biologiei, economie, sociologie și altele. În ciuda varietate de subiecte, ar trebui să urmeze o secvență logică unică pentru rezolvarea acestor probleme:

1. Elaborarea de control. Una dintre cele mai dificile etape, ceea ce necesită o precizie maximă, pentru că orice greșeală va duce la rezultate complet greșite. Este necesar să se ia în considerare toți factorii care afectează procesul și de a determina condițiile inițiale. Ar trebui, de asemenea, pe baza faptelor și concluzii logice.
2. Pentru rezolvarea ecuațiilor. Acest proces este mai ușor la primul punct, deoarece necesită doar punerea în aplicare strictă a calculelor matematice.
3. Analiza și evaluarea rezultatelor. Soluție derivată trebuie evaluate pentru instalarea valorii teoretice și practice a rezultatului.

Un exemplu de utilizare a Ecuații diferențiale în medicină

Utilizarea telecomenzii în domeniul medicinii se regăsește în construcția modelului matematic epidemiologice. Nu ar trebui să uităm că aceste ecuații sunt, de asemenea, găsite în biologie și chimie, care sunt aproape de medicament, deoarece aceasta joacă un rol important studiul diferitelor populatii biologice si procese chimice din corpul uman.

În acest exemplu, răspândirea epidemie de infecție pot fi tratate într-o comunitate izolată. Locuitorii sunt împărțite în trei tipuri:

• Infectat, numărul x (t), care a constat din indivizi, purtători infecțioși, dintre care fiecare este infecțioasă (perioada de incubație este scurtă).
• Al doilea tip include indivizi susceptibili y (t), pot fi infectate prin contactul cu infectat.
• Al treilea tip include persoane refractare z (t), care sunt imune sau pierdute din cauza bolii.

Numărul de persoane în mod constant, păstrarea naștere, decesele naturale și migrația nu este luată în considerare. La baza va fi de două ipoteze.

procentual al bolii la un anumit moment de timp este egal cu x (t) y (t) (ipoteză bazată pe teoria că numărul de cazuri în mod proporțional cu numărul de intersecții dintre pacienți și membri care răspund, care, în primă aproximație este proporțională cu x (t) y (t)), în prin urmare, numărul de cazuri este în creștere, iar numărul de scăderi sensibile la o rată care se calculează cu formula ax (t) y (t) (a> 0).

Numărul de animale non-raspuns care au murit sau dobândite de imunitate, a crescut la o rată care este proporțională cu numărul de cazuri, bx (t) (b> 0).

Ca rezultat, puteți seta un sistem de ecuații cu toate cele trei indicatori pe baza concluziilor sale.

utilizare EXEMPLU economie

calculul diferential este adesea utilizat în analiza economică. Sarcina principală în analiza economică este considerată a fi studiul valorilor economiei, care sunt înregistrate în forma funcției. Acesta este utilizat în rezolvarea problemelor, cum ar fi schimbări în creșterea impozitelor pe venit, imediat după aceea, taxele de intrare, modificări ale veniturilor atunci când modificarea valorii produsului, în ce proporție pot fi înlocuite de pensionari cu echipament nou. Pentru a rezolva astfel de probleme, este necesară pentru a construi o funcție de comunicare a variabilelor de intrare, care, după ce au fost studiate prin calcul diferențial.

este adesea necesar pentru a găsi performanța cea mai optimă în sfera economică: productivitatea maximă, cel mai mare venit, cel mai mic cost și așa mai departe. Fiecare astfel de componentă este o funcție de una sau mai multe argumente. De exemplu, producția poate fi considerată ca o funcție a forței de muncă și de capital. În acest sens, găsirea unei valori adecvate poate fi redusă la găsirea maximul sau minimul unei funcții de una sau mai multe variabile.

Astfel de probleme creează o clasă de probleme extremale în domeniul economic, pentru care ai nevoie de calcul diferențial. Atunci când este necesar indicatorul economic pentru a minimiza sau pentru a maximiza în funcție de alți parametri, raportul de creștere punctul maxim la funcția de argumentele vor tinde la zero în cazul incrementarea argumentului tinde la zero. Altfel, când o astfel de atitudine tinde la o anumită valoare pozitivă sau negativă, punctul specificat nu este adecvat, deoarece prin creșterea sau descreșterea argumentului poate fi modificată valoare dependentă în direcția dorită. În terminologia calcul diferențial, acest lucru ar însemna că condițiile necesare pentru funcția maximă este o valoare zero a derivatului său.

Economia nu este o problemă mai puțin frecvente de a găsi extremum unei funcții de mai multe variabile, pentru că indicatorii economici sunt formate din mai mulți factori. Astfel de probleme sunt bine înțelese în teoria funcțiilor de mai multe variabile, metoda de calcul diferențial. Astfel de probleme nu includ doar maximizată și funcția redusă la minimum, dar, de asemenea, limitări. Aceste întrebări se referă la programarea matematică, iar acestea sunt rezolvate cu ajutorul unor metode special dezvoltate se bazează și pe această ramură a științei.

Printre metodele de calcul diferențial utilizate în economie, o secțiune importantă este testul final. În sfera economică, termenul se referă la un set de metode de cercetare de performanță și rezultate variabile atunci când modificați volumul creației, consumul, pe baza unei analize a valorilor lor limită. Limitarea derivat indicații considerate sau derivatele parțiale cu mai multe variabile.

Calculul diferențial al mai multor variabile - un subiect important de analiză matematică. Pentru un studiu detaliat, puteți utiliza o varietate de materiale didactice pentru instituțiile de învățământ superior. Una dintre cele mai renumite Fikhtengol'ts create - „din calcul diferențial și integral.“ Cât de mult din nume pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale de o importanță considerabilă pentru a avea aptitudinile necesare pentru a lucra cu integralele. Atunci când există un calcul diferențial al funcțiilor de o variabilă, decizia devine mai ușoară. Deși, trebuie remarcat, urmează aceleași reguli de bază. În practică, pentru a investiga funcția calculului diferențial, trebuie doar să urmezi algoritmul deja existent, care este dat în liceu, și doar un pic mai complicat cu introducerea de noi variabile.