Formare, Educație și școlile secundare
Liniare și ecuație diferențială omogenă a primului ordin. exemple de soluții
Cred că ar trebui să înceapă cu istoria instrumentului matematic glorios ca ecuații diferențiale. La fel ca toate calcul diferențial și integral, aceste ecuații au fost inventate de Newton în secolul al 17-lea. El a crezut că a fost descoperirea lui atât de important încât chiar mesajul criptat, care astăzi poate fi tradus după cum urmează: „Toate legile naturii descrise de ecuații diferențiale.“ Poate părea o exagerare, dar este adevărat. Orice lege a fizicii, chimie, biologie, pot fi descrise prin aceste ecuații.
O contribuție enormă la dezvoltarea și crearea teoriei ecuațiilor diferențiale au matematica lui Euler și Lagrange. Deja în secolul al 18-lea au descoperit si dezvoltat ceea ce este acum studiază la cursurile de conducere universitare.
Un nou punct de referință în studiul ecuațiilor diferențiale a început datorită Anri Puankare. El a creat o „teorie calitativă a ecuațiilor diferențiale“, care, combinate cu teoria funcțiilor variabile complexe au contribuit în mod semnificativ la fundamentul topologiei - știința spațiului și proprietățile sale.
Care sunt ecuații diferențiale?
Mulți oameni se tem de expresia „ecuație diferențială“. Cu toate acestea, în acest articol vom stabili în detaliu esența acestui instrument matematic foarte util, care nu este de fapt la fel de complicat cum pare din titlu. Pentru a începe să vorbească despre o ecuație diferențială de ordinul întâi, trebuie să te mai întâi cunoștință cu conceptele de bază, care sunt în mod inerent asociate cu această definiție. Și vom începe cu diferențial.
diferențială
Mulți oameni cunosc acest termen din liceu. Cu toate acestea, încă mai locuiesc pe ea în detaliu. Imaginați-vă graficul funcției. O putem crește într-o asemenea măsură încât oricare dintre segmentul său devine o linie dreaptă. Va dura două puncte, care sunt infinit de aproape unul de altul. Diferența dintre coordonatele (x sau y) este infinitezimal. Și aceasta se numește diferențial și caractere desemnează dy (diferențiale y) și dx (diferențiala x). Este important să se înțeleagă că diferența nu este valoarea finală, iar acesta este sensul și funcția principală.
Și acum trebuie să ia în considerare următoarele elemente, pe care vom avea nevoie pentru a explica conceptul de ecuație diferențială. Acesta - derivat.
derivat
Toți dintre noi trebuie să fi auzit la școală și această noțiune. Ei spun că derivatul - este rata de creștere sau descreștere a funcției. Cu toate acestea, această definiție devine mai confuză. Să încercăm să explicăm termenii derivate ale diferențialele. Să ne întoarcem la funcția de interval infinitezimal cu două puncte, care sunt situate la o distanță minimă unul față de celălalt. Dar chiar și dincolo de această funcție distanță este timpul pentru a schimba la o anumită valoare. Și pentru a descrie această schimbare și să vină cu un derivat care altfel ar fi scris ca raportul dintre diferențialele: f (x) „= df / dx.
Acum este necesar să se ia în considerare proprietățile de bază ale derivatului. Există doar trei:
- Suma Derivata sau diferența poate fi reprezentată ca suma sau diferența dintre derivații: (a + b) '= a' + b 'și (ab)' = a'-b“.
- A doua proprietate este legată de multiplicare. lucrări derivate - este suma lucrările unei funcții într-un alt derivat: (a * b) '= a' * b + a * b“.
- Derivatul diferenței poate fi scrisă ca următoarea ecuație: (a / b) '= (a' * ba * b „) / b 2.
Toate aceste caracteristici vin la îndemână pentru găsirea de soluții pentru ecuații diferențiale de ordinul întâi.
De asemenea, sunt derivate partiale. Să presupunem că avem o funcție de z, care depinde de variabilele x și y. Pentru a calcula derivata parțială a acestei funcții, de exemplu, în x, trebuie să luăm variabila y pentru constantă și ușor de diferențiat.
integrală
Un alt concept important - integrantă. De fapt, este opusul derivatului. Integrale sunt mai multe tipuri, dar mai simple soluții de ecuații diferențiale, avem nevoie de cele mai triviale integralele nedefinite.
Deci, ce este integrala? Să presupunem că avem o relație f de x. Noi luăm de la ea integralei și de a obține o funcție F (x) (este adesea menționată ca un primitiv), care este un derivat al funcției inițiale. Prin urmare, F (x) „= f (x). Acest lucru implică, de asemenea, că integrala a derivatului este egală cu funcția inițială.
În rezolvarea ecuațiilor diferențiale este foarte important să se înțeleagă semnificația și funcția integralei, deoarece foarte des trebuie să le ia pentru a găsi soluții.
Ecuațiile sunt diferite în funcție de natura lor. În secțiunea următoare ne vom uita la tipuri de primele ecuații diferențiale de ordinul, și apoi să învețe cum să le rezolve.
Clase de ecuații diferențiale
„Diffury“ împărțită la ordinul derivatelor implicate în ele. Astfel, există o prima, a doua, a treia sau mai multe ordine. Ele pot fi, de asemenea, împărțite în mai multe clase: ordinare și parțiale.
În acest articol, vom lua în considerare ecuațiile diferențiale ordinare de ordinul întâi. Exemple și soluții vom discuta în următoarele secțiuni. Noi considerăm doar TAC pentru că este cele mai frecvente tipuri de ecuații. Ordinar împărțit în subspecii: cu variabile separabile, omogene și eterogene. În continuare veți afla modul în care acestea diferă unul de altul, și să învețe cum să le rezolve.
În plus, aceste ecuații pot fi combinate, astfel încât, după vom obține un sistem de ecuații diferențiale de ordinul întâi. Astfel de sisteme, de asemenea, ne uităm la și să învețe cum să rezolve.
De ce ne gândim doar la prima comanda? Deoarece este necesar să se înceapă cu un simplu și să descrie toate asociate cu ecuații diferențiale, într-un singur articol este imposibil.
Ecuatii cu variabile separabile
Aceasta este, probabil, cele mai simple primele ecuațiilor diferențiale de ordinul. Acestea sunt exemple care pot fi scrise ca: y „= f (x) * f (y). Pentru a rezolva această ecuație avem nevoie formula de reprezentare a derivatului ca raportul dintre diferențialele: y „= dy / dx. Cu ea obținem ecuația: dy / dx = f (x) * f (y). Acum ne putem întoarce la metoda de rezolvare exemple standard: separa variabilele în părți, adică rapid înainte toate variabila y în partea unde există dy, și, de asemenea, face variabila x ... Obținem o ecuație de forma: dy / f (y) = f (x) dx, care se realizează prin luarea integralele celor două părți. Nu uita despre constanta pe care doriți să îl plasați după integrare.
Soluția oricărei „diffura“ - este o funcție de x prin y (în cazul nostru), sau în cazul în care există o condiție numerică, răspunsul este un număr. Să examinăm un exemplu concret întregul curs al deciziei:
y „= 2y * sin (x)
Se transferă variabilele în direcții diferite:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Acum, ia integralele. Toate acestea pot fi găsite într-un tabel special al integralelor. Și obținem:
ln (y) = -2 * cos (x) + C
Dacă este necesar, putem exprima „y“, în funcție de „X“. Acum putem spune că ecuația diferențială noastră este rezolvată, în cazul în care nu este specificat condiție. Poate fi specificată condiție, de exemplu, y (n / 2) = e. Apoi, vom înlocui pur și simplu valoarea acestor variabile în decizia și de a găsi valoarea constantei. În exemplul nostru, este 1.
Omogeni de ordinul întâi ecuații diferențiale
Acum, pe la părțile mai complexe. Omogeni primele ecuații diferențiale de ordinul pot fi scrise în formă generală: y „= z (x, y). Trebuie remarcat faptul că funcția dreaptă a două variabile este uniformă, și nu poate fi împărțit în două, în funcție de: z x și z a lui y. Verificați dacă ecuația este omogenă sau nu, este destul de simplu: vom face substituția x = k * x și y = k * y. Acum ne-am tăiat toți k. Dacă aceste scrisori sunt abandonate, atunci ecuația omogenă și poate trece în condiții de siguranță la soluționarea ei. Privind în perspectivă, noi spunem: principiul soluției acestor exemple este de asemenea foarte simplu.
Trebuie să facem schimbarea: y = t (x) * x, unde t - o funcție care depinde și de x. Apoi putem exprima derivatul: y '= t' (x) * x + t. Substituind toate acestea în ecuația inițială și va simplifica, avem exemplul separării variabilelor T ca x. Rezolva aceasta și obține dependența t (x). Când am luat-o, pur și simplu înlocui noastre anterioare de substituție y = t (x) * x. Apoi obținem dependența y pe x.
Pentru a face mai clar, vom înțelege un exemplu: x * y „= yx * e y / x.
Atunci când verificarea înlocuirea tuturor în declin. Deci, ecuația este foarte omogenă. Acum, faceți o altă substituție, am vorbit despre: y = t (x) * x și y '= T' (x) * x + T (x). După simplificare următoarea ecuație: t „(x) * x = -e t. Decidem pentru a obține un eșantion cu variabile separate și obținem: e -t = ln (C * x). Trebuie doar să înlocuiți t de y / x ( pentru că dacă y = t * x, atunci t = y / x), și obținem răspunsul: e -y / x = ln ( x * C).
ecuație diferențială liniară de prim ordin
Este timpul să ia în considerare un alt subiect larg. Vom analiza heterogene de prim ordin ecuații diferențiale. Cum se deosebesc de cele două anterioare? Să recunoaștem. Liniare ecuații diferențiale prim ordin în forma generală a ecuației poate fi scrisă, astfel: y „+ g (x) * y = z (x). Trebuie clarificat faptul că z (x) și g (x) pot fi valori constante.
Iată un exemplu: y „- y * x = x 2.
Există două moduri de a rezolva, și ordonăm Să examinăm amândoi. Prima - metoda de variație a constantelor arbitrare.
Pentru a rezolva ecuația în acest mod, este necesar să se egaleze primul partea dreaptă la zero și pentru a rezolva ecuația rezultată, care, după transferul pieselor devine:
y „= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = XDX;
ln | y | = x 2/2 + C;
y = e x2 / 2 * C y = C 1 * e x2 / 2.
Acum este necesar să se înlocuiască constanta C 1 pe funcția v (x), pe care o vom găsi.
y = v * e x2 / 2.
Desenați un derivat de înlocuire:
y '= v' * e x2 / 2 -x * v * e x2 / 2.
Și înlocuind aceste expresii în ecuația originală:
v „* e x2 / 2 - x * v * e x2 / 2 + x * v * e x2 / 2 = x 2.
Puteți vedea că în partea stângă a doi termeni sunt reduse. Dacă unii exemplu care nu sa întâmplat, atunci ai făcut ceva greșit. Continuăm să:
v „* e x2 / 2 = x 2.
Acum vom rezolva ecuația de obicei, în care doriți să separați variabilele:
DV / dx = x 2 / e x2 / 2;
dv = x 2 * e - x2 / 2 dx.
Pentru a elimina integral, trebuie să aplicăm integrarea de piese aici. Cu toate acestea, acest lucru nu este subiectul acestui articol. Dacă sunteți interesat, poți învăța pe cont propriu pentru a efectua astfel de acțiuni. Nu este greu, și cu suficient de calificare și de îngrijire nu este consumatoare de timp.
Referindu-se la a doua metodă soluția ecuațiilor neomogene: metoda Bernoulli. Ce abordare este mai rapid și mai ușor - este de până la tine.
Deci, atunci când rezolvarea acestei metode, trebuie să facem schimbarea: y = k * n. Aici, k și n - unele funcții în funcție de x. Apoi, derivatul va arata ca: y '= k' * n + k * n“. Substitutive două substituții în ecuația:
k '* n + k * n ' + x * k * n = x 2.
Grupa sus:
k '* n + k * ( n' + x * n) = x 2.
Acum este necesar să se echivala cu zero, care este în paranteze. Acum, dacă combina cele două ecuații rezultate, obținem un sistem de ecuații diferențiale în primul rând pentru a fi rezolvate:
n „+ x * n = 0;
* K“n = x 2.
Prima egalitate decide cum ecuația de obicei. Pentru a face acest lucru, trebuie să se separe variabilele:
dn / dx = x * v;
dn / n = XDX.
Noi luăm integral si obținem: ln (n) = x 2/2. Apoi, dacă ne exprimăm n:
n = e x2 / 2.
Acum substituie ecuația rezultată în a doua ecuație:
k „* e x2 / 2 = x 2.
Și transformarea, obținem aceeași ecuație ca și în prima metodă:
dk = x 2 / e x2 / 2.
De asemenea, nu vom discuta măsuri suplimentare. Se spune că la primele ecuații diferențiale de ordinul unu soluție cauzează dificultăți considerabile. Cu toate acestea, o imersiune mai adânc în subiect începe pentru a obține o mai bună și mai bine.
Unde sunt ecuații diferențiale?
Ecuațiile foarte activi diferențiale utilizate în fizică, deoarece aproape toate legile de bază sunt scrise în formă diferențială, și acele formule, pe care le vedem - o soluție la aceste ecuații. În chimie, acestea sunt utilizate pentru același motiv: legile de bază sunt derivate prin ele. În biologie, ecuațiile diferențiale sunt folosite pentru a modela comportarea sistemelor, cum ar fi prădător - pradă. Ele pot fi de asemenea folosite pentru a crea modele de reproducere, de exemplu, coloniile de microorganisme.
Ca ecuații diferențiale ajuta în viață?
Răspunsul la această întrebare este simplu: nimic. Daca nu sunteti un om de știință sau inginer, este puțin probabil ca acestea vor fi utile. Cu toate acestea, nu strica sa stiu ce ecuația diferențială și este rezolvată pentru dezvoltarea generală. Și apoi întrebarea unui fiu sau fiică, „ce o ecuație diferențială?“ nu te pune într-o fundătură. Ei bine, dacă ești un om de știință sau inginer, atunci știți importanța acestui subiect în orice știință. Dar, cel mai important, că acum la întrebarea „cum să rezolve ecuația diferențială a primei ordine?“ veți fi întotdeauna în măsură să dea un răspuns. Sunt de acord, este întotdeauna frumos când îți dai seama că ceea ce oamenii sunt chiar frică să afle.
Principalele probleme în studiul
Principala problemă în înțelegerea acestui subiect este un obicei prost de funcții de integrare și diferențiere. Dacă nu vă convine ASUMATI derivați și integralele, este, probabil, în valoare de mai mult pentru a învăța, de a învăța diferite metode de integrare și diferențiere, și doar apoi trece la studiul materialului care a fost descris în articol.
Unii oameni sunt surprinși să afle că dx pot fi transferate, anterior (în școală), a susținut că fracția dy / dx este indivizibilă. Apoi, trebuie să citiți literatura de specialitate cu privire la derivatul și să înțeleagă că aceasta este atitudinea unor cantități infinit de mici, care pot fi manipulate în rezolvarea ecuațiilor.
Mulți oameni nu își dau seama imediat că soluția de ecuații diferențiale de ordinul întâi - acest lucru este de multe ori o funcție sau neberuschiysya integrală, iar această iluzie le oferă o mulțime de probleme.
Ce altceva poate fi studiat pentru a înțelege mai bine?
Cel mai bine este să înceapă imersiune mai departe în lumea de calcul diferential de manuale de specialitate, de exemplu, în analiza matematică pentru studenții specialităților non-matematice. Puteți muta apoi la literatura de specialitate mai.
Se spune că, în plus față de diferențial, există încă ecuații integrale, astfel încât veți avea întotdeauna ceva să depună eforturi și ce să studieze.
concluzie
Sperăm că după citirea acestui articol, veți avea o idee despre ce ecuațiile diferențiale și cum să le rezolve în mod corect.
În orice caz, matematică, în orice mod util pentru noi în viață. Se dezvoltă logica și atenție, fără de care fiecare om, ca și fără mâini.
Similar articles
Trending Now