Seria Maclaurin și descompunerea anumitor funcții

Studentul de matematică superioară ar trebui să știe că suma unor serii de putere aparținând intervalului de convergență al seriei date este o funcție diferențiată care este continuă și infinit de multe ori. Se pune întrebarea: este posibil să afirmăm că o funcție arbitrară dată f (x) este suma unei serii de putere? Asta este, în ce condiții poate f (x) să fie reprezentată de o serie de putere? Importanța unei astfel de întrebări este aceea că este posibil să se înlocuiască f-x f (x) cu suma primelor termeni ai seriei de putere, adică un polinom. O astfel de substituție a unei funcții printr-o expresie destul de simplă - un polinom - este, de asemenea, convenabilă în rezolvarea anumitor probleme de analiză matematică, și anume: în rezolvarea integralelor, în calculul ecuațiilor diferențiale și așa mai departe.

Se demonstrează că pentru o anumită funcție f (x), în care este posibil să se calculeze derivatele până la (n + 1) - ordin, inclusiv ultima, în vecinătatea lui (α - R; X ₀ + R) a unui anumit punct x = α, următoarea formulă este valabilă:

Această formulă poartă numele cunoscutului om de știință Brooke Taylor. Seria obținută de la cea precedentă se numește seria Maclaurin:

O regulă care face posibilă descompunerea într-o serie Maclaurin:

1. Determinați derivatele primei, celei de a doua, a treia ... ordine.
2. Calculați ce derivate la x = 0 sunt egale cu.
3. Înregistrați seria Maclaurin pentru o funcție dată și apoi determinați intervalul de convergență.
4. Determinați intervalul (-R; R), unde restul formulei Maclaurin

R _n (x) -> 0 ca n → ∞ de infinit. În cazul în care există, funcția f (x) din ea trebuie să coincidă cu suma seriei Maclaurin.

Considerăm acum seria Maclaurin pentru funcții individuale.

1. Astfel, prima este f (x) = e ^x . Desigur, din punct de vedere al caracteristicilor sale, o astfel de funcție are derivate de ordine foarte diferite și f ^(k) (x) = e ^x , unde k este egală cu toate numerele naturale. Înlocuim x = 0. Obținem f ^(k) (0) = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Continuând din cele de mai sus, seria e ^x Va arata astfel:

2. Seria Maclaurin pentru funcția f (x) = sin x. Explicăm imediat că funcția φ pentru toate necunoscutele are derivate, în plus f ^' (x) = cos x = sin (x + n / 2), f ^{' '} (x) = -sin x = sin + 2 * n / 2), f ^(k) (x) = sin (x + k * n / 2), unde k este egal cu orice număr natural. Adică, făcând calcule simple, putem ajunge la concluzia că seria pentru f (x) = sin x va avea forma:

3. Acum, să încercăm să luăm în considerare funcția f (x) = cos x. El are derivate de ordin arbitrar pentru toate necunoscutele și | f ^(k) (x) | = Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Din nou, făcând anumite calcule, rezultă că seria pentru f (x) = cos x va arăta astfel:

Astfel, am enumerat cele mai importante funcții care pot fi descompuse în seria Maclaurin, dar acestea sunt completate de seria Taylor pentru unele funcții. Acum le listam. Este, de asemenea, de remarcat faptul că seriile Taylor și Maclaurin sunt o parte importantă a atelierului de rezolvare a seriilor de matematică superioară. Deci, seria Taylor.

1. Prima este seria pentru funcția f (x) = ln (1 + x). Ca și în exemplele anterioare, pentru o f (x) = ln (1 + x) putem adăuga o serie folosind forma generală a seriei Maclaurin. Cu toate acestea, pentru această funcție seria Maclaurin poate fi obținută mult mai simplu. Integrarea unor serii geometrice, obținem o serie pentru f (x) = ln (1 + x) dintr-o astfel de mostră:

2. Și al doilea, care va fi final în lucrarea noastră, va fi o serie pentru f (x) = arctg x. Pentru x care aparține intervalului [-1; 1], extinderea este validă:

Asta e tot. În acest articol, au fost luate în considerare cele mai utilizate serii de Taylor și Maclaurin în matematică superioară, în special în universitățile economice și tehnice.