Diferențialele - Ce este asta? Cum de a găsi diferențial funcției?

Împreună cu derivați funcțiile lor diferențialele - l unele dintre conceptele de bază ale calculului diferențial, secțiunea principală a analizei matematice. Legate în mod indisociabil, ambele dintre ele de mai multe secole, utilizate pe scară largă în rezolvarea aproape toate problemele care au apărut în cursul activității științifice și tehnice.

Apariția conceptului de diferențiale

Pentru prima dată a făcut clar faptul că un astfel de diferential, unul dintre fondatorii (împreună cu Isaakom Nyutonom) Calcul diferențial celebrul matematician german Gotfrid Vilgelm Leybnits. Înainte ca matematicieni din secolul al 17-lea. folosit idee foarte neclară și vagă a unor „nedivizată“ infinitezimal orice funcție cunoscută, reprezentând o valoare constantă foarte mică, dar nu este egal cu zero, sub care valorile funcția nu poate fi pur și simplu. Prin urmare, era doar un pas spre introducerea noțiunilor de creșteri infinitezimale argumentelor funcției și incremente respective ale funcțiilor care pot fi exprimate în termeni de derivați ai acesteia din urmă. Și acest pas a fost făcut aproape simultan cele de mai sus doi oameni de știință mari.

Bazat pe necesitatea de a aborda urgente probleme practice de mecanica cu care se confruntă știința rapid dezvoltarea industriei și tehnologiei, Newton și Leibniz a creat comune modalități de a găsi funcțiile de rata de schimbare (în special în ceea ce privește viteza mecanică a corpului cunoscut traiectoriei), care a dus la introducerea unor astfel de concepte, ca funcția derivată și diferențial, și de asemenea găsit algoritmul inverse soluțiile problemei ca cunoscută per se (variabilă), vitezele traversate pentru a găsi calea care a dus la conceptul integral Ala.

În lucrările de idee Leibniz și Newton întâi părea că diferențele - este proporțională cu creșterea argumentelor de bază bH incrementează funcții care pot fi AU aplicate cu succes pentru a calcula valoarea acesteia din urmă. Cu alte cuvinte, ei au descoperit că o funcție de creștere poate fi în orice moment (în cadrul domeniului său de definiție) se exprimă prin derivatul său atât DU = y „(x) bH + αΔh unde α bH - rest, tinzând la zero ca bH → 0, mult mai rapid decât real bH.

Potrivit fondatorii analizei matematice, diferențialele - aceasta este exact primul termen în trepte de orice funcții. Chiar și fără a avea un concept de secvențe limită clar definite sunt înțelese intuitiv că valoarea diferențială a derivatului tinde să funcționeze atunci când bH → 0 - AU / bH → y „(x).

Spre deosebire de Newton, care a fost în primul rând un fizician și un aparat matematic considerat ca un instrument auxiliar pentru studiul de probleme fizice, Leibniz acordat mai multă atenție acestui set de instrumente, inclusiv un sistem de simboluri vizuale și ușor de înțeles valori matematice. El este cel care a propus notatia standard a functiei diferentiale dy = y '(x) dx, dx și derivata funcției argument ca relația y lor' (x) = dy / dx.

Definiția modernă

Care este diferența de în termeni de matematică moderne? Aceasta este strâns legată de conceptul de creștere variabilă. Dacă variabila y are o primă valoare a lui y y = _1, atunci y = y _2, diferența y ₂ ─ y ₁ se numește valoare increment y. Incrementul poate fi pozitiv. negativă și zero. Cuvântul „Incrementul“ este desemnat Δ, înregistrarea AU (citiți „delta y“) reprezintă valoarea incrementului y. deci = y ₂ DU ─ y _1.

Dacă valoarea DU funcție arbitrară y = f (x) poate fi reprezentat ca AU = A bH + α, unde A este aceasta nu depinde de bH, t. E. A = const pentru dat x, iar termenul subunitatea când bH → 0 tinde să este chiar mai rapid decât real bH, atunci primul ( „master“) un termen proporțional bH și este (x) diferențială y = f, notat dy sau df (x) (a se citi "y de", "de eff din X"). Prin urmare, Difereniale - liniar „principal“ în ceea ce privește componentele incrementează funcțiilor bH.

explicație mecanică

Hai s = f (t) - distanța în linie dreaptă se deplasează punct material din poziția inițială (t - timpul de deplasare). Increment Δs - este modul punct în timpul unui interval de timp At, iar ds diferențiale = f „(t) At - această cale, care punct va avea loc în același timp At, în cazul în care a păstrat viteză f“ (t), a ajuns la momentul t . Atunci când un DS cale imaginara At infima diferă de reale Δs având infinitezimal un ordin mai mare în ceea ce privește At. În cazul în care viteza la timpul t nu este egal cu zero, DS valoare aproximativă dă punctul părtinire mici.

interpretare geometrică

Lăsați linia L este graficul y = f (x). Apoi Δ x = MQ, = QM AU „(vezi. Figura de mai jos). Tangent MN rupe tăiat în două DU părți, QN și NM“. Mai întâi și bH este proporțională QN = MQ ∙ tg (unghiul QMN) = bH f „(x), t. E QN este diferențială dy.

A doua parte a diferenței NM'daet ─ dy DU, atunci când bH lungime → 0 NM „scade chiar mai rapid decât incrementarea argumentului, adică are ordinul micime mai mare decât bH. În acest caz, dacă este „(x) ≠ 0 (tangente neparalele OX) segmente f QM'i QN echivalente; cu alte cuvinte NM „scade rapid (ordinea micimea sale mai mari) decât totalul increment = QM DU“. Acest lucru este evident în Figura (abordarea segmentului M'k M NM'sostavlyaet toate procent segment QM“mai mic).

Deci, diferențiale grafic funcție arbitrară este egal cu incrementarea ordonata tangentei.

Derivative și diferențială

Un factor în primul termen al funcției increment expresiei este egală cu valoarea lui f derivatul său „(x). Astfel, următoarea relație - dy = f '(x) bH sau df (x) = f' (x) bH.

Este cunoscut faptul că incrementarea argumentul independent este egală cu presiunea diferențială bH = dx. Prin urmare, se poate scrie: f „(x) dx = dy.

Găsirea (uneori, a declarat a fi „decizia“) diferențialele se realizează prin aceleași reguli ca și pentru derivații. O listă a acestora este prezentată mai jos.

Ce este mai universal: incrementarea argumentul sau Diferentialul

Aici este necesar să se facă unele precizări. Reprezentarea valorii f „(x) diferențială bH posibil atunci când se analizează x ca argument. Dar, funcția poate fi un complex, în care x poate fi o funcție de argumentul t. Apoi reprezentarea expresiei diferențiale a f „(x) bH, de regulă, este imposibil; cu excepția cazurilor de dependență liniară x = at + b.

În ceea ce privește formula f „(x) dx = dy, apoi în cazul argumentului x independent (atunci dx = bH) în cazul dependenței parametrica x t, este diferențial.

De exemplu, expresia 2 x bH este pentru y = x ² diferențială când x este un argument. acum x = T ² și T Presupunem argumentul. Apoi , y = x ² = t ^4.

Aceasta este urmată de (t + At) ² = t ² + 2tΔt + ^{2 At.} De aici bH = 2tΔt + ^{2 At.} De aici: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + ^{2 At).}

Această expresie nu este proporțională cu At, și de aceea este acum 2xΔh nu este diferențială. Acesta poate fi găsit din ecuația y = x ² = t ^4. Este dy egal = 4t ³ At.

Dacă luăm 2xdx expresie, este diferențială y = x ² pentru orice argument t. Într - adevăr, atunci când x = t ² obține dx = 2tΔt.

Deci 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ Ot, t. E. Diferențele de exprimare înregistrate de două variabile diferite coincid.

Înlocuirea incrementează diferentiale

Dacă f „(x) ≠ 0, atunci și dy echivalente AU (când bH → 0); dacă f „(x) = 0 (sens și dy = 0), ele nu sunt echivalente.

De exemplu, în cazul în care y = x ^2, apoi = AU (x + bH) ² ─ x ² = 2xΔh + bH ² și dy = 2xΔh. Dacă x = 3, atunci avem = 6Δh + DU bH ² și dy = 6Δh care sunt echivalente din cauza bH ² → 0, când x = 0 valoare = bH ² AU și dy = 0 nu sunt echivalente.

Acest fapt, împreună cu structura simpla a diferențialului (m. E. Liniaritatea în ceea ce privește bH), este adesea utilizat în calcul aproximativ, presupunând că ≈ dy pentru AU mici bH. Găsiți funcția diferențială este de obicei mai ușor decât pentru a calcula valoarea exactă a creșterii.

De exemplu, avem un cub metalic cu margine x = 10.00 cm. La încălzirea marginii lungit pe bH = 0,001 cm. Cum a crescut volumul de cub V? Avem V = x ^2, astfel încât dV = 3x ² = bH 3 ∙ ∙ ^{10 februarie} 0/01 = 3 (cm ^3). Crescută diferențială echivalent dV Av, astfel încât 3 = Av ^cm3. Calculul complet ar da ³ = 10,01 ─ Av ^{10 martie} = 3.003001. Dar rezultatul din cifre, cu excepția primei nesigure; Prin urmare, este încă necesar să se rotunji până la 3 cm ^3.

Evident, această abordare este utilă numai în cazul în care este posibil să se estimeze valoarea imprimată cu eroare.

Funcția Differential: exemple

Să încercăm să găsim diferențialul funcției y = x ^3, găsirea derivatul. Să ne dea argumente și să definească incrementului DU.

= AU (bH + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + bH (bH 3xΔh ² + ^3).

Aici, coeficientul A = 3x ² nu depinde de bH, astfel încât primul termen este proporțională bH, celălalt membru 3xΔh bH ² + ³ când bH → 0 scade mai repede decât incrementul argumentului. În consecință, un membru al 3x ² bH este diferențiala y = x ^3:

dy = 3x ² bH = 3x ² dx sau d (x ³⁾ = 3x ² dx.

În care d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy acum Găsim functia y = 1 / x de instrumentul derivat. Apoi , d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. De aceea , dy = ─ bH / x ^2.

Diferențialele funcții algebrice de bază sunt prezentate mai jos.

Calcule aproximative folosind diferentiale

Pentru a evalua funcția f (x), și derivatul său f „(x) la x = a este adesea dificil, dar să facă același lucru în vecinătatea x = a nu este ușor. Apoi vin în ajutorul expresiei aproximative

f (a + bH) ≈ f „(a) bH + f (a).

Aceasta dă o valoare aproximativă a funcției la incremente mici prin presiunea diferențială bH f „(a) bH.

Prin urmare, această formulă dă o expresie aproximativă a funcției la punctul final al unei porțiuni de lungime bH ca sumă a valorii sale la punctul de plecare al porțiunii (x = a) și diferențial în același punct de plecare. Precizia metodei de determinare a valorilor funcției de mai jos ilustrează desenul.

Cu toate acestea cunoscute și expresia exactă pentru valoarea funcției x = a + bH dată prin creșteri finite formule (sau, alternativ, formula lui Lagrange)

f (a + bH) ≈ f „(ξ) bH + f (a),

unde punctul x = a + ξ este în intervalul de la x = a la x = a + bH, deși poziția sa exactă nu este cunoscută. Formula exactă permite evaluarea erorii formulei aproximative. Dacă am pus în Lagrange formula ξ = bH / 2, deși încetează să mai fie corecte, dar oferă, de regulă, o abordare mult mai bună decât expresia originală în termeni de diferențial.

Formulele de evaluare de eroare prin aplicarea diferențiată

Instrumente de măsură , în principiu, inexacte, și să aducă la datele de măsurare corespunzătoare erorii. Acestea sunt caracterizate prin limitarea eroarea absolută, sau, pe scurt, eroarea limită - pozitiv, depășind în mod clar eroarea în valoare absolută (sau cel mult egal cu acesta). Limitarea erorii relative se numește coeficientul obținut prin împărțirea prin valoarea absolută a valorii măsurate.

Să formula exactă y = f (x) funcție utilizată pentru vychislyaeniya y, dar valoarea lui x este rezultatul măsurării, și, prin urmare, aduce eroarea y. Apoi, pentru a găsi limitarea de eroare absolută │Δu│funktsii y, folosind formula

│Δu│≈│dy│ = │ f „(x) ││Δh│,

în cazul în care │Δh│yavlyaetsya argument eroare marginală. │Δu│ cantitate trebuie să fie rotunjite în sus, după cum calcul inexact în sine este înlocuirea increment asupra calculului diferențial.